前几天无意中在网上发现一个很有意思的概率统计问题-蒙提霍尔问题(Monty Hall problem),又称三门问题,正确的解答让我一脸懵逼但又无法反驳,经过一番苦思冥想,终于搞清楚了来龙去脉,现在给大伙儿分享一下。

问题描述

设想你在参加一个电视游戏节目,有三扇背后放置奖品的门,其中一扇门后面是汽车,另外两扇门后面是山羊。你不知道每扇门后面是什么,但是主持人知道。选中一扇门后即可获得该门后的奖品。当你选择了一个门并还未打开时,主持人会打开另外一扇有山羊的门,并且询问你是坚持原来的选择还是选择另外一扇关闭的门。现在的问题是:你要不要更换另一扇门?如果换另一扇门是否会增加赢得汽车的机率?

两种观点

在换与不换的问题上,主要有以下两种对立的观点:

  1. 换不换无所谓,都有1/2的机率赢得汽车
  2. 当然要更换,不换赢得汽车的几率只有1/3,更换之后这个机率会增加到2/3

驳“换不换无所谓”论

乍看这个问题,我觉得很多人可能会像我一样觉得换不换无所谓,因为还未打开的一扇门后面是汽车,另外一扇门后面是山羊,二选其一,换与不换赢得汽车的机率是一样的。凭直觉来看好像是这样的,但仔细想想其实这种观点是站不住脚的,为什么呢?

理解观点一为什么错误的一个关键点是,对于已发生的事件来说,后来发生的事件是不可能影响它的机率的。当主持人打开有羊的那扇门之后,是不会影响你一开始选中汽车的概率的,主持人帮你排除了一扇没有汽车的门,相当于带给你额外的信息帮助你去判断,如果坚持最初的选择的话,其实是没有利用这种信息的,所以赢得汽车的概率仍然是1/3,而选择更换就可以充分利用这种信息增加赢得汽车的机率。

另外,切换门的选择与从剩下的两扇门之中随机选择是两种不同的情况,因为考虑第一种情况会使用先前的信息,也就是那个最初的选择,而第二种情况则不会。所以切换门的问题不能用简单的使用二选其一的思路去做判断。

如果你看到这里心中还是有些疑惑,那么这个例子可能比较容易理解一些:在公司年会抽奖环节,轮到你上台抽奖,这时抽奖箱有1000张奖券,但只有一张是特等奖,你抽了一张但还未打开,然后这时候上帝出现了,帮你排除了不是特定奖的998张,然后问你要不要将手中的奖券换成剩下的那张。你换不换?必须要换啊,傻子才不换嘞…不换得奖的概率还是原来的1/1000,换之后却能达到999/1000,虽然这个场景设定的样本数量跟蒙提霍尔问题有很大差距,但是背后的原理却有异曲同工之妙。

概率分析

假设开始选取了1号门,下面表格展示了奖品不同的布置情况与更换与否的结果

1号门2号门3号门不换的结果换的结果
汽车山羊山羊赢得汽车赢得山羊
山羊汽车山羊赢得山羊赢得汽车
山羊山羊汽车赢得山羊赢得汽车

可以发现不更换的赢得汽车的概率只有1/3,而更换之后赢得汽车的概率提高到2/3.

对于换的情况的概率求解有很多思考方式,这里主要列出两种供大家参考:

  • 开始的时候选择车,换之后不可能赢得车;开始的时候选羊,换之后一定可以赢得车。换之后赢得车的概率即为开始选羊的概率即2/3。
  • 开始你选择了一扇门,主持人拥有剩余两扇门,对你来说,你的门存在汽车的概率是1/3,主持人的两扇门存在汽车的概率是2/3,当主持人向你展示出一扇有山羊的门时,相当于主持人手中的另外一扇未打开的门存在汽车的概率独占2/3,所以换成主持人手中未打开的门赢得汽车的概率也就是2/3。

参考

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

One Comment

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.